Question

已知F₂、F₁是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點，點F₂關于漸近線的對稱點恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、3
• B、

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關于漸近線的對稱點恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得直角三角形MF₁F₂，運用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：由題意，F₁（0，-c），F₂（0，c），
一條漸近線方程為y=

a

b

x，則F₂到漸近線的距離為

bc

a2+b2

=b．
設F₂關于漸近線的對稱點為M，F₂M與漸近線交于A，
∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點，
又0是F₁F₂的中點，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故選C．

點評：本題主要考查了雙曲線的幾何性質以及有關離心率和漸近線，考查勾股定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．