Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m．
（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|= ， 畫出圖象如圖，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=﹣ 時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為m= ．
∵a2+2c2+3b2=m= =（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc，
∴ab+2bc≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，取等號(hào)，
故ab+2bc的最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）利用分段函數(shù)，化簡函數(shù)的解析式，從而作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求得函數(shù)的最大值m．（Ⅱ）由題意可得a2+2c2+3b2=m= =（a2+b2）+2（c2+b2），利用基本不等式求它的最值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)．