【題目】已知圓C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的極坐標方程為.
(1)將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程,將圓C2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)圓C1、C2是否相交,若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由.
【答案】(1)1;(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)對于曲線C1利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2φ+cos2φ=1即可;對于曲線C2利用極坐標與直角坐標的互化公式即可化簡;
(Ⅱ)先求出兩圓的圓心距,與兩圓的半徑和差進行比較即可判斷出兩圓的位置關(guān)系;再將兩圓的方程聯(lián)立求出其交點坐標,利用兩點間的距離公式即可.
試題解析:
(1)由得x2+y2=1,
又∵ρ=2cos(θ+)=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ.
∴x2+y2-x+y=0,即(x-)2+(y+)2=1.
(2)圓心距d==1<2,得兩圓相交.
由得,A(1,0),B(-,-),
∴|AB|==.
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【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.
(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;
(2)設(shè)O是坐標原點,直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P,證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
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【題目】隨著科技發(fā)展,手機成了人們?nèi)粘I钪斜夭豢缮俚耐ㄐ殴ぞ,現(xiàn)在的中學(xué)生幾乎都擁有了屬于自己的手機了.為了調(diào)查某地區(qū)高中生一周使用手機的頻率,某機構(gòu)隨機調(diào)查了該地區(qū)100名高中生某一周使用手機的時間(單位:小時),所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為、、、、、、,由此得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值并估計該地區(qū)高中生一周使用手機時間的平均值;
(2)從使用手機時間在、、、的四組學(xué)生中,用分層抽樣方法抽取13人,則每層各應(yīng)抽取多少人?
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【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元), 表示購機的同時購買的易損零件數(shù).
(Ⅰ)若=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值;
(Ⅲ)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos2x-,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N*時,求f(n)的表達式;
(2)設(shè)an=n·f(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)設(shè)bn=(9-n) ,n∈N*,Sn為{bn}的前n項和,當(dāng)Sn最大時,求n的值.
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【題目】下列命題中
(1)在等差數(shù)列中, 是的充要條件;
(2)已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,且公比為,若,則當(dāng)且僅當(dāng);
(3)若數(shù)列為遞增數(shù)列,則的取值范圍是;
(4)已知數(shù)列滿足,則數(shù)列的通項公式為
(5)對任意的恒成立.
其中正確命題是_________(只需寫出序號).
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【題目】如圖所示,在直角梯形中, , , , , , 底面, 是的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)若, ,求平面與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖,多面體中,四邊形是菱形, , 相交于, ,點在平面上的射影恰好是線段的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
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