已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，有一個頂點(diǎn)為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.
（1）；（2）.

試題分析：（1）首先根據(jù)橢圓有一個頂點(diǎn)為，可知長軸，又，從而得：，可求出，即可求出橢圓方程.
（2）分直線的斜率存在與不存在分類討論，（1）當(dāng)直線與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，；（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，并整理得，利用和點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.
解：（1）因?yàn)闄E圓有一個頂點(diǎn)為，故長軸，又，從而得：，，∴橢圓的方程；(3分)
（2）依題意，直線過點(diǎn)且斜率不為零.
（1）當(dāng)直線與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，；   (4分)
（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為,  (5分)
由方程組
 消去，并整理得，  
設(shè),, 又有，則
∴   (7分)
∴ ，  ∴，
，       (9分)
 ，       .
且 ．          (11分)
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：．   (12分)
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且恰為弦的中點(diǎn)。求證：無論點(diǎn)怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

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已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點(diǎn)，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量與向量互相垂直（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 （   ）
A．或B．或C．或D．或

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是 (     )
A．B．
C．D．

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