如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB內(nèi)能否找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅰ）取PC中點(diǎn)為F，連接EF，BF
又E為PD的中點(diǎn)，所以EF∥DC且EF=
1
2
DC
所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形（2分）
所以AE∥BF，因?yàn)锳E?面PBC，所以AE∥面PBC（4分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，3），E（0，
1
2
，
3
2
）（5分）
從而
AC
=（2，1，0），
PB
=（1，0，-3）
設(shè)
AC
與
PB
的夾角為θ，則
cosθ=
AC
•
PB
|
AC
|•|
PB
|
=-
2
5
，（7分）
∴AC與PB所成角的余弦值為
2
5
（8分）
（Ⅲ）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于G，連PG，
設(shè)N為PG的中點(diǎn)，連NE，則NE∥DG，（10分）
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC從而NE⊥面PAC（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直線l⊥平面α，有以下幾個(gè)判斷：
①若m⊥l，則m∥α，
②若m⊥α，則m∥l
③若m∥α，則m⊥l，
④若m∥l，則m⊥α，
上述判斷中正確的是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BB1=2，AB=
2
，BC=1，∠BCC1=
π
3

（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC1（不包含端點(diǎn)C，C1）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B1D；
（2）若B1D⊥平面ACE，求
AA1
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大�。�
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=
2
．
（I）求證：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得幾何體B-ACD
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到面ABC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知三棱錐P-ABC的側(cè)面PAB是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，PC=BC=AC=2，PB=2
2
．
（1）證明：AB⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=
1
2
DC，M為BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面AEM⊥平面BDC．

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