Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，它與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．求A、B兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)傾斜角確定直線AB的方程，再與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理確定A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和與橫坐標(biāo)之積，即縱坐標(biāo)之和與縱坐標(biāo)之積．最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得A、B兩點(diǎn)間的距離．
解答：解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
所作直線方程為，
它與拋物線之二交點(diǎn)坐標(biāo)由下面方程組
確定，
解得（1-x）²=4x，x²-6x+1=0
由根與系數(shù)關(guān)系，得x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
又解得y²=4（1-y），y²+4y-4=0，
y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4．
由兩點(diǎn)間距離公式
但（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36-4=32，
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16+16=32
∴
故AB兩點(diǎn)間距離為8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線與直線的關(guān)系問(wèn)題．一般是把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，獲得一元二次方程，再利用韋達(dá)定理來(lái)找到解決問(wèn)題的突破口．