【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D﹣ABC,如圖2所示.

(1)求證:BC⊥平面ACD;
(2)求幾何體D﹣ABC的體積.

【答案】
(1)

證明:

【證法一】:在圖1中,由題意知, ,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC

取AC中點(diǎn)O,連接DO,則DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,

且平面ADC∩平面ABC=AC,DO平面ACD,從而OD⊥平面ABC,

∴OD⊥BC

又AC⊥BC,AC∩OD=O,

∴BC⊥平面ACD

【證法二】:在圖1中,由題意,得 ,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC

∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC面ABC,∴BC⊥平面ACD


(2)

解:由(1)知,BC為三棱錐B﹣ACD的高,且 ,SACD= ×2×2=2,

所以三棱錐B﹣ACD的體積為:

由等積性知幾何體D﹣ABC的體積為:


【解析】(1)解法一:由題中數(shù)量關(guān)系和勾股定理,得出AC⊥BC,再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可,△ADC是等腰Rt△,底邊上的中線OD垂直底邊,由面面垂直的性質(zhì)得OD⊥平面ABC,所以O(shè)D⊥BC,從而證得BC⊥平面ACD;
解法二:證得AC⊥BC后,由面面垂直,得線面垂直,即證.(2),由高和底面積,求得三棱錐B﹣ACD的體積即是幾何體D﹣ABC的體積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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