Question

【題目】設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)f（x）= ．
（1）若a=4，求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f﹣1（x）；
（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=4，

∴

∴ ，

∴ ，

∴調(diào)換x，y的位置可得 ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=f（﹣x）對(duì)任意x均成立，

∴ = ，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．

∵2x﹣2﹣x不恒為0，

∴a=0，此時(shí)f（x）=1，x∈R，滿足條件；

若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=﹣f（﹣x）對(duì)任意x均成立，

∴ =﹣ ，整理可得a2﹣1=0，

∴a=±1，

∵a≥0，

∴a=1，

此時(shí)f（x）= ，滿足條件；

當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)

綜上所述，a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，a=1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)

【解析】（1）根據(jù)反函數(shù)的定義，即可求出，（2）利用分類討論的思想，若為偶函數(shù)求出a的值，若為奇函數(shù)，求出a的值，問(wèn)題得以解決．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的奇偶性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．