Question

（任選一題）
①在數(shù)列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．
②是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=

n(n+1)

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(an2+bn+c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？
并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：①（1）由a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，分別令n=1，2，3，能分別求出a₂，a₃，a₄，并由此能猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明能夠a_n=

1

2n-1

．
②先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a，b，c，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，即1•2²+2•3²++k（k+1）²=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答：解：①（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，
∴a2=

1

1+2×1

=

1

3

，
a3=

1 3

1+2× 1 3

=

1

5

，
a4=

1 5

1+2× 1 5

=

1

7

．
∴猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

1

2n-1

．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=

1

2n-1

．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2×1-1

=

1

2

，成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_n=

1

2n-1

成立，即ak=

1

2k-1

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+2× 1 2k-1

=

1

2k-1+2

=

1

2k+1

=

1

2(k+1)-1

，也成立．
故a_n=

1

2n-1

．
②證明：假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，
在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²
=

n(n+1)

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（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=

1

6

（a+b+c）①
令n=2，得22=

1

2

（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，對(duì)于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述知，（*）成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，（*）成立，
即1•2²+2•3²++k（k+1）²
=

k(k+1)

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•（3k²+11k+10），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

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[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式也成立．
綜上所述，當(dāng)a=3，b=11，c=10時(shí)題設(shè)的等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：第①題主要考查遞推公式的應(yīng)用，第②題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．