Question

（考生注意：本題請從以下甲乙兩題中任選一題作答，若兩題都答只以甲題計分）
甲：設數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-S_n；數列{a_n} 為等差數列，且a₅=9，a₇=13．
（Ⅰ）求數列 {b_n} 的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n（n=1，2，3，…），T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n．
乙：定義在[-1，1]上的奇函數f（x），已知當x∈[-1，0]時，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：甲：（Ⅰ）利用b_n=2-S_n，再寫一式，兩式相減，可得數列{b_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，即可得到結論；
（Ⅱ）確定數列的通項，利用錯位相減法求和即可；
乙：（Ⅰ）確定函數的解析式，再換元，利用配方法，分類討論，可求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）求導函數，可得f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0，由此可求實數a的取值范圍．

解答：甲：解：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，則b₁=2-S₁，∴b₁=1，…（1分）
當n≥2時，由b_n=2-S_n，可得b_n-b_n-1=-（S_n-S_n-1）=-b_n，…（3分）
∴b_n=

1

2

b_n-1，…（4分）
∴數列{b_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列
∴b_n=

1

2n-1

．…（6分）
（Ⅱ）數列{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=2，∴a_n=2n-1，…（8分）
從而c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

2n-1

，…（9分）
∴T_n=1+

3

2

+…+（2n-1）•

1

2n-1

∴

1

2

T_n=

1

2

+

3

22

+…+（2n-3）•

1

2n-1

+（2n-1）•

1

2n

兩式相減可得：

1

2

T_n=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-（2n-1）•

1

2n

=3-

2n+3

2n

 …（11分）
從而T_n=6-

2n+3

2n-1

．…（12分）
乙：解：（Ⅰ）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，∴f（-x）=4^x-a•2^x
∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=a•2^x-4^x，x∈[0，1]，…（3分）
令t=2^x，則t∈[1，2]，∴g（t）=at-t²=-（t-

a

2

）²+

a2

4

∴當

a

2

≤1，即a≤2時，g（t）_max=g（1）=a-1；
當1＜

a

2

＜2，即2＜a＜4時，g（t）_max=g（

a

2

）=

a2

4

；
當

a

2

≥2，即a≥4時，g（t）_max=g（2）=2a-4；．…（8分）
（Ⅱ）因為函數f（x）在[0，1]上是增函數，
所以f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0    …（10分）
∴a≥2•2^x恒成立
∵x∈[0，1]
∴a≥4                   …（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．