Question

（1）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，直線l的參數(shù)方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數(shù)），則直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為

4

．
（2）已知a，b為正數(shù)，且直線2x-（b-3）y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直，則2a+3b的最小值為

25

．

Answer 1

分析：（1）將曲線C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得它是以（2，-1）為圓心，半徑是3的圓．然后將直線l化成一般方程，求出點(diǎn)（2，-1）到直線l的距離，最后利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)，得到直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)；
（2）根據(jù)兩直線垂直的充要條件列式，得到3a+2b=ab，化成

3

a

+

2

b

=1，利用“1”的代換將2a+3b轉(zhuǎn)化為13+

4a

b

+

9b

a

，根據(jù)基本不等式a+b≥2

ab

，可以求得2a+3b的最小值為25．

解答：解：（1）曲線C的參數(shù)方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

，
可得

3cosθ=x-2 3sinθ=y+1

，結(jié)合cos²θ+sin²θ=1，可得
曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+（y+1）²=9
它是以M（2，-1）為圓心，半徑為3的圓
∵直線l的參數(shù)方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t得直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-2y+1=0
∴點(diǎn)M到直線l的距離為d=

|2-2×(-1)+1|

12+(-2)2

=

5

設(shè)直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為m，可得（

1

2

m）²+d²=R²=9
∴m=2

9-d2

=4
（2）∵直線2x-（b-3）y+6=0的斜率為k1=

2

b-3

，
直線bx+ay-5=0斜率為k2=-

b

a

，且兩互相垂直∴
∴k1k2=

2

b-3

•(-

b

a

)=-1⇒3a+2b=ab⇒

2

a

+

3

b

=1
∴2a+3b=(

2

a

+

3

b

)(2a+3b)=13+

6a

b

+

6b

a

∵a，b為正數(shù)
∴

6a

b

+

6b

a

≥2

6a b • 6b a

=12
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)，等號(hào)成立，
可得2a+3b的最小值為13+12=25
故答案為：4，25

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式求最值的知識(shí)，屬于中檔題．