Question

（1）設(shè)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)為    ．
（2）已知a，b為正數(shù)，且直線(xiàn)2x-（b-3）y+6=0與直線(xiàn)bx+ay-5=0互相垂直，則2a+3b的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）將曲線(xiàn)C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得它是以（2，-1）為圓心，半徑是3的圓．然后將直線(xiàn)l化成一般方程，求出點(diǎn)（2，-1）到直線(xiàn)l的距離，最后利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)，得到直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)；
（2）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件列式，得到3a+2b=ab，化成，利用“1”的代換將2a+3b轉(zhuǎn)化為13+，根據(jù)基本不等式，可以求得2a+3b的最小值為25．
解答：解：（1）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，
可得，結(jié)合cos²θ+sin²θ=1，可得
曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+（y+1）²=9
它是以M（2，-1）為圓心，半徑為3的圓
∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為：x-2y+1=0
∴點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離為d=
設(shè)直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)為m，可得（m）²+d²=R²=9
∴m=
（2）∵直線(xiàn)2x-（b-3）y+6=0的斜率為，
直線(xiàn)bx+ay-5=0斜率為，且兩互相垂直∴
∴⇒3a+2b=ab⇒
∴2a+3b==13+
∵a，b為正數(shù)
∴
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)，等號(hào)成立，
可得2a+3b的最小值為13+12=25
故答案為：4，25
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式求最值的知識(shí)，屬于中檔題．