如圖,正方形CDEF內(nèi)接于橢圓,且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行,正方形GHPQ的頂點(diǎn)G,H在橢圓上,頂點(diǎn)P,Q在正方形的邊EF上.且CD=2PQ=

(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0),l交橢圓于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
(1);(2)證明過程詳見解析.

試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題等數(shù)學(xué)知識,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問,由圖形分析,利用CD和PQ的邊長得出點(diǎn)E和點(diǎn)G的坐標(biāo),由于這2點(diǎn)都在橢圓上,聯(lián)立方程得出,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,通過對題意的分析,只需證明直線MA,MB的斜率之和為0即可,設(shè)出A,B點(diǎn)坐標(biāo),列出2條直線的斜率的表達(dá)式,直線與橢圓方程聯(lián)立消參,得到關(guān)于x的方程,列出兩根之和與兩根之積,而通過轉(zhuǎn)化可以將得到的兩根之和與兩根之積代入,只要最后化簡結(jié)果為0即可.
試題解析:(1)∵,∴點(diǎn),
又∵,∴點(diǎn)
,解得
∴橢圓方程.(4分)
(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,,直線l方程為,代入橢圓方程消去y,
得x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.(9分)




,(12分)
∴k1+k2=0,故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.(13分)
練習(xí)冊系列答案
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如圖,設(shè)E:=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1與F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求證:△PF1F2的面積S=b2tanθ.

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(1)求曲線Γ的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,且時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為________.

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已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的值為(     )
A.16B.25C.9D.不為定值

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如圖,已知,圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓,每組同心圓的半徑分別是1,2,3,…,n,…. 利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點(diǎn)的橢圓或雙曲線. 若其中經(jīng)過點(diǎn)M、N的橢圓的離心率分別是,經(jīng)過點(diǎn)P,Q 的雙曲線的離心率分別是,則它們的大小關(guān)系是      (用“”連接)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).

(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果方程表示雙曲線,那么下列橢圓中,與這個(gè)雙曲線共焦點(diǎn)的是( )
A.B.
C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y2=1上,頂點(diǎn)A與橢圓的焦點(diǎn)F1重合,且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)F2在BC邊上,則△ABC的周長是________.

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