【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的準(zhǔn)線為,其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)B是拋物線C上橫坐標(biāo)為的一點(diǎn),若點(diǎn)B到的距離等于.
(1)求拋物線C的方程,
(2)設(shè)A是拋物線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),直線AO交直線于點(diǎn)M,拋物線C在點(diǎn)A處的切線m交直線于點(diǎn)N,求證:以點(diǎn)N為圓心,以為半徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
【答案】(1);(2)定點(diǎn),
【解析】
(1) 由題意,得,則△BOF為等腰三角形,求出線段OF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到拋物線C的方程;
(2) 設(shè)切線m的方程為:,聯(lián)立方程,借助韋達(dá)定理可得,再求出,表示以為半徑的圓的方程即可得到兩個(gè)定點(diǎn).
(1)由題意,得,則△BOF為等腰三角形,
因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,所以線段OF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
從而點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1,即,所以p=2,
故所求拋物線C的方程為;
(2)證明:設(shè)切線m的方程為:,由
(*)
由題意知,即
所以方程(*)的根為 ,從而,
直線OA的方程為
由,得,由,得,
所以以點(diǎn)N為圓心,以為半徑的圓的方程為,
令,得,解得,
所以圓N經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
(1)求函數(shù)在上的值域
(2)設(shè),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為.若,試分別比較與、與的大小關(guān)系.
(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和為.證明:若存在正整數(shù)k,使,則.
(3)在等比數(shù)列中,設(shè)的前n項(xiàng)乘積,類比(2)的結(jié)論,寫出一個(gè)與有關(guān)的類似的真命題,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正四面體ABCD的體積為1,O為其中心,正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱,則這兩個(gè)正四面體的公共部分的體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長為.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn),且與圓C相切,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形為邊長為2的菱形, 為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且, , .
(1)若, 分別為, 的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)若, 與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線:,過拋物線焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),且的周長為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),過點(diǎn)、分別作拋物線的切線、,切線與相交于點(diǎn),求:的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖暅(公元前5~6世紀(jì))是我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家,是祖沖之的兒子,他提出了一條原原理:“冪勢既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢”指高。這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體體積相等。設(shè)由橢圓 所圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體),課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法,請類比此法,求出橢球體體積,其體積等于( )
A. B.
C. D.
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