Question

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD
（2）求二面角E-AD-C的正切值．

Answer 1

（1）證明：連接AC、BD
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PA⊥BD
∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∴BD⊥AC
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面PBD
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）解：記AC∩BD=O，
由（1）知PA⊥平面ABCD，而OE∥PA，所以EO⊥平面ABCD．
在平面ABCD內(nèi)作OF⊥AD交AD于F，連EF，則EF⊥AD．
所以∠EFO就是二面角E-AD-C的平面角．
由ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=1，得OF=，
又OE=PA=，
∴在Rt△OEF中，
分析：（1）先證明BD⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連OE，過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，連EF，可得∠EFO就是所求二面角的平面角，解三角形EFO，即可得到二面角E-AD-C的正切值．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是證明線面垂直，作出面面角，屬于中檔題．