精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是PA的中點.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅱ)求證:PC∥平面BDE.
分析:(Ⅰ)先根據(jù)PA⊥平面ABCD確定PA為四棱錐P-ABCD的高,進而根據(jù)棱錐的體積公式可求出四棱錐P-ABCD的體積.
(Ⅱ)連接AC交BD于O,再連接OE,根據(jù)中位線定理可得到PC∥OE,再由線面平行的判定定理可證明PC∥OE,得證.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,
VP-ABCD=
1
3
S正方形ABCD•PA

=
1
3
×12×2=
2
3

即四棱錐P-ABCD的體積為
2
3


(Ⅱ)連接AC交BD于O,連接OE.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴O是AC的中點.
又∵E是PA的中點,
∴PC∥OE.
∵PC∉平面BDE,OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE.
點評:本題主要考查棱錐的體積公式和線面平行的判定定理的應用.考查對定理的掌握情況和對基礎知識的綜合運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大小;當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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