Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）如果f（

1

2

）=1，解不等式-1＜f（2x-1）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出（-∞，0）內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，轉(zhuǎn)化為[0，+∞）內(nèi)，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)證出f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）由f（0）=0，-1=f（-

1

2

），把不等式-1＜f（2x-1）≤0化為f（-

1

2

）＜f（2x-1）≤f（0），然后利用函數(shù)為增函數(shù)去掉“f”后得答案．

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂為（-∞，0）內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁-x₂，
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又是定義在R上的奇函數(shù)，則-f（x₁）＞-f（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
由f（

1

2

）=1，得-1=f（-

1

2

），
∴-1＜f（2x-1）≤0化為f（-

1

2

）＜f（2x-1）≤f（0），
即-

1

2

＜2x-1≤0，解得：

1

4

＜x≤

1

2

．
∴不等式-1＜f（2x-1）≤0的解集為(

1

4

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，考查了不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．