Question

公比不是1的等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=cosnβ，且對(duì)任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，則該數(shù)列的前2009項(xiàng)的積為     ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到a_n+2等于a_nq²，而有a_n+2=a_n，得到q的平方等于1，又q不等于1得到q的值為-1，然后分別把n=1和n=2代入通項(xiàng)公式表示出首項(xiàng)和第2項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)用第2項(xiàng)比上第1項(xiàng)，等于公比q等于-1，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，得到一個(gè)關(guān)于cosβ的方程，求出方程的解即可得到cosβ的值，進(jìn)而得到等比數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)首項(xiàng)和求出的公比q，列舉出數(shù)列的前2009項(xiàng)相乘的形式方程為1005個(gè)（-1）相乘和1004個(gè)1相乘或1005個(gè)（-）相乘和1004個(gè)相乘，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，利用乘法的法則，即可得到該數(shù)列的前2009項(xiàng)的積．
解答：解：由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2時(shí)，a₂=cos2β，
則==q=-1，
化簡得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=或cosβ=-1，
所以此數(shù)列前2009項(xiàng)分別為-1，1，-1，…，-1或，-，，…，-，
則該數(shù)列的前2009項(xiàng)的積為-1或-．
故答案為：-1或-
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡求值，此題求出的公比q有兩個(gè)值，所以求出的結(jié)果也有兩個(gè)．