Question

【題目】某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)．已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率；

（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且σ2＝362．利用該正態(tài)分布，估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù)；

（3）預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k（k∈(1，2n））；③每答對一題加1.5分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績．已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.7，且每題答對與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？

（參考數(shù)據(jù)：；若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．

Answer 1

【答案】（1）（2）182；（3）n應(yīng)該是10．

【解析】

（1）求出樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有40人，其中成績優(yōu)良的人數(shù)為15人，由此能求出恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率．

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值53，則μ＝53，由σ2＝362，得σ＝19，從而P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）求解.

（3）以隨機(jī)變量ξ表示甲答對的題數(shù)，則ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X＝1.5ξ，EX＝1.5Eξ＝1.05n，為了獲取答n題的資格，甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為：0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），設(shè)甲答完n題的分?jǐn)?shù)為M（n），則M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，由此能求出學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績的答題量n的值．

（1）由題意得樣本中成績不低于60分的學(xué)生共有：

（0.0125+0.0075）×20×100＝40人，

其中成績優(yōu)良的人數(shù)為0.0075×20×100＝15人，

記“從樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良”為事件C，

則恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率：

P（C）．

（2）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為：

10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15＝53，則μ＝53，

又由σ2＝362，∴σ＝19，

∴P（Z≥91）＝P（Z≥μ+2σ）0.02275，

∴估計(jì)全市參加參賽的全體學(xué)生中成績不低于91分的人數(shù)為：

8000×0.02275＝182，

即全市參賽學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù)為182．

（3）以隨機(jī)變量ξ表示甲答對的題數(shù)，則ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，

記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X＝1.5ξ，

∴EX＝1.5Eξ＝1.05n，

依題意為了獲取答n題的資格，甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為：

0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），

設(shè)甲答完n題的分?jǐn)?shù)為M（n），

則M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，

由于n∈N*，∴當(dāng)n＝10時(shí)，M（n）取最大值105，即復(fù)賽成績的最大值為105．

∴若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績，則他的答題量n應(yīng)該是10．