Question

【題目】如圖，直三棱柱的底面為等邊三角形，、分別為、的中點，點在棱上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出平面，可得出，結合，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再由面面垂直的判定定理可證得結論成立；

（2）由平面得出，利用勾股定理計算出的長，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求出二面角的余弦值.

（1）因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，

平面，，

因為為等邊三角形，為的中點，所以.

又，所以平面，

平面，所以.

又因為，，所以平面.

又因為平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知平面，所以.

設，則有，即，得.

以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

設平面的法向量為，，，

由，令，可得，，則，

因為平面，所以平面的一個法向量為，

，

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.