Question

已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)P，A為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q(0，t)是線段OA(除端點(diǎn)外)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作平行于x軸的直線交直線AP于點(diǎn)M，以QM為直徑的圓的圓心為N.

(1)求橢圓方程；

(2)若圓N與x軸相切，求圓N的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)R為圓N上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

 

Answer 1

（1）＝1（2）（3）

【解析】(1)∵e＝，不妨設(shè)c＝3k，a＝5k，則b＝4k，其中k>0，故橢圓方程為＝1(a>b>0)，∵P在橢圓上，∴＝1，解得k＝1，∴橢圓方程為＝1.

(2)kAP＝＝－，則直線AP的方程為y＝－x＋4，令y＝t(0<t<4)，則x＝，∴M，∵Q(0，t)，∴N，

∵圓N與x軸相切，∴＝t，由題意M為第一象限的點(diǎn)，則＝t，解得t＝，

∴N，圓N的方程為.

(3)F(3，0)，kPF＝，∴直線PF的方程為y＝(x－3)，即12x－5y－36＝0，

∴點(diǎn)N到直線PF的距離為|6－5t|，

∴d＝|6－5t|＋(4－t)，∵0<t<4.

∴當(dāng)0<t≤時(shí)，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此時(shí)≤d<；

當(dāng)<t<4時(shí)，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此時(shí)<d<.

∴綜上，d的取值范圍為.