Question

已知α，β，γ成公比為2的等比數列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比數列．求α，β，γ的值．

Answer 1

分析：根據α，β，γ成公比為2的等比數列，可用α分別表示出β，γ；根據sinα，sinβ，sinγ成等比數列，進而可知

sinβ

sinα

=

sinγ

sinβ

，整理可求得cosα，進而求得α，最后通過α，β，γ的關系求得β，γ．

解答：解：∵α，β，γ成公比為2的等比數列，
∴β=2α，γ=4α，
∵sinα，sinβ，sinγ成等比數列
∴

sinβ

sinα

=

sinγ

sinβ

?

sin2α

sinα

=

sin4α

sin2α

?cosα=2cos2α-1即2cos²α-cosα-1=0解得cosα=1，或cosα=-

1

2

當cosα=1時，sinα=0，與等比數列的首項不為零，故cosα=1應舍去，當cosα=-

1

2

，α∈[0，2π]時，α=

2π

3

或α=

4π

3

，所以α=

2π

3

，β=

4π

3

，γ=

8π

3

或α=

4π

3

，β=

8π

3

，γ=

16π

3

點評：本題主要考查了等比數列的性質，三角函數兩角和公式等．考查了學生綜合分析問題的能力．