【題目】【2015高考天津,文20】已知函數(shù)

I)求的單調(diào)區(qū)間;

II)設曲線軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有;

III)若方程有兩個正實數(shù)根,求證:.

【答案】(I 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;(II)見試題解析;(III)見試題解析.

【解析】

I)由,可得 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是;(II, ,證明 單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實數(shù)x, ,對于任意的正實數(shù),都有;(III)設方程 的根為 ,可得,由 單調(diào)遞減,得 ,所以 .設曲線 在原點處的切線為 方程 的根為 ,可得 ,由 在在 單調(diào)遞增,且 ,可得 所以 .

試題解析:(I)由,可得,當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞增;當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

II)設 ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 .

由于 單調(diào)遞減,故 單調(diào)遞減,又因為,所以當時,,所以當時,,所以 單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實數(shù)x, ,對于任意的正實數(shù),都有.

III)由(II)知 ,設方程 的根為 ,可得,因為 單調(diào)遞減,又由(II)知 ,所以 .類似的,設曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 .設方程 的根為 ,可得 ,因為 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 .

練習冊系列答案
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(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

(Ⅱ)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到上表:表中的數(shù)據(jù)顯示之間存在線性相關關系,求關于的回歸方程;

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附:

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)完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖;

)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,求恰有2人不贊成的概率;

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