Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax， ．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若對(duì)x∈[0，+∞），f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)， ，x∈（﹣1，+∞），

，

當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

∴函數(shù)g（x）的最大值g（0）=0．

（Ⅱ） ，∵x∈[0，+∞），∴ ．

①當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≤0恒成立，

∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，

∴f（x）≤f（0）=0適合題意．

②當(dāng)a≤0時(shí)， ，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，

∴f（x）=ln（1+x）﹣ax＞f（0）=0，

不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立．

③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

令f'（x）=0，得 ，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）≥0，

∴f（x）在 上為增函數(shù)，

∴f（x）＞f（0）=0，不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立，

∴a的取值范圍是[1，+∞）．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）得 ，

∴ （x＞0），

取 ， ，則 ，

∴

= ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（Ⅰ）根據(jù) g ( x )導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出原函數(shù)的最值。（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)在a的不同區(qū)間上的性質(zhì)即可得出滿足題意的a的取值范圍。（Ⅲ）整理已知根據(jù)題意利用求和公式由放縮法即可得證。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．