Question

下列不等式對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（　�。�

• A、sinx＞-x+1
• B、x-x²＞0
• C、x＞ln（1+x）
• D、e²＞ex

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由極限思想分析A錯(cuò)誤；取特值驗(yàn)證B，D錯(cuò)誤；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)分析得到C正確．

解答： 解：當(dāng)x在（0，+∞）內(nèi)趨于0時(shí)，sinx趨于0，而1-x趨于1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
取x=1時(shí)，1-1²=0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
令f（x）=x-ln（1+x），
∵f′(x)=1-

1

1+x

=

x

1+x

在x∈（0，+∞）上恒大與0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
即x＞ln（1+x）．選項(xiàng)C正確；
取x=e，得e²=ex，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
∴三個(gè)選項(xiàng)中恒成立的是x＞ln（1+x）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查了特值驗(yàn)證法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，是中檔題．