Question

【題目】已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（ ）≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2． 當(dāng)a＞0時(shí)，求得﹣ ≤x≤ ，再根據(jù)它的解集為{x|﹣2≤x≤1}，可得 ，求得a=2．
當(dāng)a＜0時(shí)，求得 ≤x≤﹣ ，再根據(jù)它的解集為{x|﹣2≤x≤1}，可得 ，a無解．
綜上可得，a=2，f（x）=|2x+1|．
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（ ）≤k恒成立，即|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立．
令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|= ，故函數(shù)g（x）的最大值為1，
故k≥1
【解析】（Ⅰ）由條件分類討論，解絕對(duì)值不等式，求得不等式f（x）≤3的解集．再根據(jù)不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}，求得a的值．（Ⅱ）由題意可得|2x+1|﹣2|x+1|≤k恒成立，令g（x）=|2x+1|﹣2|x+1|，利用分段函數(shù)求得g（x）的最大值，可得k的范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握絕對(duì)值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．