【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）若與的面積之比為，求的坐標(biāo)；

（III）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，求證：.

【答案】（I）（II）的坐標(biāo)為或.（III）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得c＝1，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由△PAF與△PMF的面積之比為，可得．設(shè)M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），則，求得．將其代入，解得m＝±9．則M的坐標(biāo)可求；（Ⅲ）設(shè)M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），分析可得m≠0，n≠0．直線AM的方程為．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，利用利用對(duì)稱性證明若P，F，Q三點(diǎn)共線，則∠MFR＝∠FNR．

（I）由題意得解得

因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓的方程為.

（II）因?yàn)?/span>與的面積之比為，

所以.

所以.

設(shè)，則，

解得.

將其代入，解得.

所以的坐標(biāo)為或.

（III）設(shè)，

若，則為橢圓的右頂點(diǎn)，由三點(diǎn)共線知，為橢圓的左頂點(diǎn)，

不符合題意.

所以.同理.

直線的方程為.

由消去，整理得.

成立.

由，解得.

所以.

所以.

當(dāng)時(shí)，，，即直線軸.

由橢圓的對(duì)稱性可得.

又因?yàn)?/span>，

所以.

當(dāng)時(shí)，，

直線的斜率.

同理.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，

所以.

所以.

在和中，

，，

所以.

因?yàn)?/span>均為銳角，

所以.

綜上，若三點(diǎn)共線，則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，將沿折起，使，連接，得到如圖所示的幾何體．

（1）求證：平面平面；

（2）若點(diǎn)在線段上，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積．

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（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

（2）若成等比數(shù)列，求a的值。

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【題目】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（1）若，求a的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

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【題目】若冬季晝夜溫差x（單位：）與某新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)量y（單位：顆）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.y與x具有正相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過點(diǎn)

C.若冬季晝夜溫差增加，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆

D.若冬季晝夜溫差的大小為，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)一定是22顆

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【題目】如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對(duì)任意 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）.在這樣的城市中，我們說的兩點(diǎn)間的距離往往不是指兩點(diǎn)間的直線距離（位移），而是實(shí)際路程（如圖）.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義，兩點(diǎn)間的“直角距離”為：.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，寫出所有滿足到原點(diǎn)的“直角距離”為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo).（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

（2）求到兩定點(diǎn)、的“直角距離”和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡.（在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)做答）

①，，；

②，，；

③，，.

（3）寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)，并說明理由（格點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

①到，兩點(diǎn)“直角距離”相等；

②到，兩點(diǎn)“直角距離”和最小.

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