【題目】如圖,已知點F為拋物線C:()的焦點,過點F的動直線l與拋物線C交于M,N兩點,且當直線l的傾斜角為45°時,.
(1)求拋物線C的方程.
(2)試確定在x軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關于x軸對稱?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)存在唯一的點,使直線PM,PN關于x軸對稱
【解析】
(1)當直線l的傾斜角為45°,則的斜率為1,則直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達定理可得,根據(jù)焦點弦公式,求出的值,即可得到拋物線方程.
(2)假設滿足條件的點P存在,設,當直線l不與x軸垂直時,設l的方程為(),聯(lián)立直線與拋物線方程,消元,列出韋達定理,因為直線PM,PN關于x軸對稱,所以,即可求出的值. 當直線l與x軸垂直時,由拋物線的對稱性,易知PM,PN關于x軸對稱,此時只需P與焦點F不重合即可.
解:(1)當直線l的傾斜角為45°,則的斜率為1,
,的方程為.
由得.
設,,則,
∴,,
∴拋物線C的方程為.
(2)假設滿足條件的點P存在,設,由(1)知,
①當直線l不與x軸垂直時,設l的方程為(),
由得,
,
,.
∵直線PM,PN關于x軸對稱,
∴,,.
∴,
∴時,此時.
②當直線l與x軸垂直時,由拋物線的對稱性,
易知PM,PN關于x軸對稱,此時只需P與焦點F不重合即可.
綜上,存在唯一的點,使直線PM,PN關于x軸對稱.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C經(jīng)過M(1,3),N(4,2),P(1,﹣7)三點,且直線l:x+ay﹣1=0(aR)是圓C的一條對稱軸,過點A(﹣6,a) 作圓C的一條切線,切點為B,則線段AB的長度為_______.
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【題目】為了研究高中學生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關系,運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗,經(jīng)計算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
參照附表,得到的正確的結論是( 。
A. 有99%以上的把握認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關”
B. 有99%以上的把握認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別無關”
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為.為橢圓的左頂點,為橢圓上異于的兩個動點,直線與直線分別交于兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)若與的面積之比為,求的坐標;
(III)設直線與軸交于點,若三點共線,求證:.
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【題目】已知橢圓:的焦距為,點在橢圓上,且的最小值是(為坐標原點).
(1)求橢圓的標準方程.
(2)已知動直線與圓:相切,且與橢圓交于,兩點.是否存在實數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】在全國第五個“扶貧日”到來之前,某省開展“精準扶貧,攜手同行”的主題活動,某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量.甲鎮(zhèn)有基層干部60人,乙鎮(zhèn)有基層干部60人,丙鎮(zhèn)有基層干部80人,每人都走訪了若干貧困戶,按照分層抽樣,從甲、乙、丙三鎮(zhèn)共選20名基層干部,統(tǒng)計他們走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成,,,,5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這20人中有多少人來自丙鎮(zhèn),并估計甲、乙、丙三鎮(zhèn)的基層干部走訪貧困戶戶數(shù)的中位數(shù)(精確到整數(shù)位);
(2)如果把走訪貧困戶達到或超過35戶視為工作出色,求選出的20名基層干部中工作出色的人數(shù),并從中選2人做交流發(fā)言,求這2人中至少有一人走訪的貧困戶在的概率.
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【題目】教材曾有介紹:圓上的點處的切線方程為我們將其結論推廣:橢圓的點處的切線方程為在解本題時可以直接應用,已知直線與橢圓E:有且只有一個公共點.
(1)求的值;
(2)設O為坐標原點,過橢圓E上的兩點A、B分別作該橢圓的兩條切線,且與交于點M
①設,直線AB、OM的斜率分別為,求證:為定值;
②設,求△OAB面積的最大值.
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【題目】嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點與月球表面距離為公里,遠月點與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里,則該橢圓形軌道的離心率約為
A. B. C. D.
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【題目】在信息時代的今天,隨著手機的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方法,某機構對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查,隨機抽取了100人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成的人數(shù)如下表:(注:年齡單位:歲)
年齡 | ||||||
頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
(1)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并通過計算判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關”?
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(2)若從年齡在,調(diào)查的人中各隨機選取1人進行追蹤調(diào)查,求選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)恰好為1人的概率.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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