定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A、B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．給出如下四個(gè)命題：①對(duì)于給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；②定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；③g（x）=2x為函數(shù)f（x）=|3x|的一個(gè)承托函數(shù)；④數(shù)學(xué)公式為函數(shù)f（x）=x2的一個(gè)承托函數(shù)．其中正確的命題有________．

①③
分析：函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，即說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)）①舉例可以說(shuō)明，如f（x）=cosx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，反例如
y=tanx或y=lgx就沒有承托函數(shù)；②f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故命題②不正確；③要說(shuō)明g（x）=2x為函數(shù)f（x）=|3x|的一個(gè)承托函數(shù)；即證明F（x）=ex-2x的圖象恒在x軸上方；④舉反例即可．
解答：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數(shù)，∴命題①正確；
②f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故命題②不正確；
③令F（x）═|3x|-2x=，
可見在x≥0時(shí)，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，最小值F（0）=0，
在x＜0時(shí)，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定義
∴命題③正確；
④x=1時(shí)，g（1）=，f（1）=1，顯然g（1）＜f（1），
當(dāng)x=時(shí)，g（ ）=，f（ ）=，顯然g（ ）＞f（ ），
命題④不正確．
故答案為：①③
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化的能力，要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，必須給出證明，如③，對(duì)于存在性命題的探討，只需舉例說(shuō)明即可，如①，對(duì)于不正確的命題，舉反例即可，如②③，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒有f′（x）＜
1
2
（x∈R），則不等式f（x2）＜
x2
2
+
1
2
的解集為（　　）
A、（1，+∞）
B、（-∞，-1）
C、（-1，1）
D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a，b，c滿足b2-3ac＜0，求證：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

23、已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足兩個(gè)條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函數(shù)的f（x）的表達(dá)式；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[-1，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜2，則不等式f（2x）＜4x的解集為
{x|x＞
1
2
}
{x|x＞
1
2
}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A、函數(shù)f（x）=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g（x）=x為函數(shù)f（x）=sinx的一個(gè)承托函數(shù)
C、g（x）=x為函數(shù)f（x）=ex-1的一個(gè)承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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