Question

在1和2之間依次插入n（n∈N^*）個正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作T_n，令b_n=2log₂T_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=2n，設Sn=

b1

c1

+

b2

c2

+…+

bn

cn

，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求出公比，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列1，a₁，a₂，a₃，…，a_n，2的公比為q
則2=1•qⁿ⁺¹，∴qⁿ⁺¹=2．
∴Tn=1•a1•a2•…•an•2=1•q•q2•…•qn•qn+1=q1+2+3+…+(n+1)=q

(n+1)(n+2)

2

=2

n+2

2

，
∴bn=2log2Tn=2log22

n+2

2

=n+2．
（Ⅱ）由已知cn=2n得 Sn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

，
∴

1

2

Sn=

3

22

+

4

23

+

5

24

+…+

n+2

2n+1

由錯位相減法求得：

1

2

Sn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

，
∴Sn=4-

n+4

2n

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的應用，考查數(shù)列求和，要求熟練掌握錯位相減法進行求和，考查學生的運算能力．