Question

設函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）如果當恒成立，則求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞），，
設g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f^′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
②當a＜0時，g（x）的對稱軸為x=a，當x＞1時，由二次函數(shù)的單調性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f^′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
③當a＞2時，設x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的兩個根，則，
當1＜x＜x₁或x＞x₂時，f^′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)．
當x₁＜x＜x₂時，f^′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數(shù)．
綜上可知：當a≤2時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
當a＞2時，f（x）的單調增區(qū)間為（1，x₂），（x₂，+∞），單調遞減區(qū)間為（x₁，x₂）．
（2），即，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①當a≤2時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)．
因為當1＜x＜2時，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立；
當x＞2時，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立；
所以當a≤2時，（*）成立
②當a＞2時，因為f（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，所以h（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，所以當x₁＜x＜2時，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立．
綜上可知，a的取值范圍為（-∞，2]．
分析：（1）通過對函數(shù)f（x）求導，進而轉化為判斷二次函數(shù)y=x²-2ax+2a的正負問題，再對a分類討論即可．
（2）當恒成立問題，轉化為當x＞1，且x≠2時恒成立問題，只要利用（1）的結論對a及x進行分類討論f（x）-a及x-2的符號即可．
點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調性及恒成立問題，關鍵是通過分類討論得到函數(shù)的單調區(qū)間及會轉化利用已證的結論解決問題．