Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知直線的參數(shù)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程

（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）45°或135°.

【解析】

（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，兩邊同乘ρ結(jié)合，即可；

（2）由直線的參數(shù)方程觀察得直線過(guò)定點(diǎn)(1,0)，用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程聯(lián)立曲線C方程，用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，列方程求出直線斜率，然后解出.

（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ，

∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

∵ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x．

（2）∵直線l的參數(shù)方程為參數(shù)，0＜a＜π），

∴tanα＝，直線過(guò)（1，0），

設(shè)l的方程為y＝k（x﹣1），

代入曲線C：y2＝4x，消去y，

得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，x1x2＝1，

∵|AB|＝8．

∴＝8，

解得k＝±1，

當(dāng)k＝1時(shí)，α＝45°；

當(dāng)k＝﹣1時(shí)，α＝135°．

∴α的值為45°或135°．