Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P（如圖2）

（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大��；

（III）求二面角B－A₁P－F的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）

       

Answer 1

解：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3 .

(I)在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF.

∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD

在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角

由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE.

又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP

(II)在圖2中，∵A₁E不垂直于A₁B，∴A₁E是平面A₁BP的斜線.

又A₁E⊥平面BEP, ∴A₁E⊥BP,

從而BP垂直于A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）.

設(shè)A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點(diǎn)Q，則

∠EA₁Q就是A₁E與平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q.

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60⁰，  ∴△EBP是等邊三角形，∴BE=EP.

又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A1P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=

又A₁E=1,在Rt△A₁EQ ,tan∠EA₁Q=,∴∠EA₁Q=60⁰.

所以直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60⁰

(III)在圖3中，過F作FM⊥A₁P于M，連結(jié)QM，QF.

∵CF=CP=1, ∠C=60⁰.    ∴△FCP是正三角形，∴PF=1.

又PQ=BP=1，∴PF=PQ.            ①

∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=，   ∴A₁F=A₁Q，∴△A₁FP≌△A₁QP,

從而∠A₁PF=∠A₁PQ.               ②

由①②及MP為公共邊知 △FMP≌△QMP，

∴∠QMP=∠FMP=90⁰，且MF=MQ，

從而∠FMQ為二面角B-A₁P-F的平面角

在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，∴A₁P=.

∵M(jìn)Q⊥A₁P, ∴MQ=,∴MF=.

在△FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，∠C=60⁰，由余弦定理得QF=.

在△FMQ中，cos∠FMQ=

所以二面角B-A₁P-F的大小為-arccos