Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．

（）求橢圓的方程．

（）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)．直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個定點(diǎn)使得?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)．

【解析】

試題

（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓所過的點(diǎn)和橢圓的離心率可求得，.則橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)存在定點(diǎn)使得.聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.設(shè),結(jié)合韋達(dá)定理有直線的方程為:,則,直線的方程為:,則.由向量垂直的 充要條件有，據(jù)此求解關(guān)于n的方程可得.則存在定點(diǎn)使得.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知,又,即,.

解得,即.

所以.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)存在定點(diǎn)使得.

由得.

設(shè),則.

因?yàn)?/span>,所以直線的方程為:,則,

直線的方程為:,則.

則有,,由得

,整理得,故.

所以存在定點(diǎn)使得.