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直線l過點P(-2,1)且斜率為k(k>1),將直線l繞點P按逆時針方向旋轉450得直線m,若m和l分別與y軸交于R,Q兩點,當k為何值時,△PQR的面積最小,求此最小值.
分析:用點斜式求出m和l的方程,求出R,Q兩點的坐標,計算△PQR 的面積,變形后應用基本不等式求出它的最小值.
解答:解:設l的傾斜角為α,則tanα=k,由k>1知   45°<α<90°,∴m的傾斜角為α+45°,m的斜率為k=
1+k
1-k

∴l(xiāng)的方程為y-1=k(x+2),m的方程為y-1=
1+k
1-k
(x+2)
;  令x=0得:yQ=2k+1,yR=
k+3
1-k
,
S△PQR=
1
2
|yQ-yR|×|-2|=|
2(k2+1)
k-1
|=2[(k-1)+
2
(k-1)
+2]≥4(
2
+1)

k-1=
2
k-1
,得k=
2
+1
,或k=1-
2
(舍),∴當k=
2
+1
時,
S△PQR取得最小值4(
2
+1)
點評:本題考查一條直線到另一直線的角的定義,直線的點斜式方程,求兩直線的交點坐標以及基本不等式的應用.
把三角形的面積表達式變形后應用基本不等式是本題的難點和關鍵.
練習冊系列答案
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斜率為k的直線l過點P(
2
,0)且與圓C:x2+y2=1存在公共點,則k2
4
9
的概率為( 。
A、
2
3
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l過點P(-2,1).
(1)當直線l與點B(-5,4)、C(3,2)的距離相等時,求直線l的方程;
(2)當直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為
12
時,求直線l的方程.

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(1)求△AOB面積最小值時l的方程;
(2)|PA|•|PB|取最小值時l的方程.

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