【題目】在四棱錐中，，，為中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由題意，取中點(diǎn)，連結(jié)，，由平面、平面即可得平面平面，即可得證；

（2）由題意可得，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系后，可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，由求得兩向量夾角的余弦值后即可得解.

（1）在中，由余弦定理得，

，由得.

連結(jié)交于點(diǎn)，由，知垂直平分，

分別平分，，

則，，

.

取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，

從而，

又平面，平面，故平面.

同理，平面，

又平面，平面，且，

平面平面，

又平面，平面.

（2）連結(jié)，因?yàn)?/span>，則，

由勾股定理得，

又，，

，，兩兩垂直，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

從而，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即取，得.

易得平面的一個(gè)法向量為，

則，

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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