已知a,b,c為正實數(shù),a+b+c=1. 求證:
(1)a2+b2+c2
(2)≤6
證明略
(1)證法一:a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c2-1)
=[3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2
=[3a2+3b2+3c2a2b2c2-2ab-2ac-2bc
=[(ab)2+(bc)2+(ca)2]≥0 ∴a2+b2+c2
證法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2="1 " ∴a2+b2+c2
證法三: ∵a2+b2+c2
a2+b2+c2
證法四:設a=+α,b=+β,c=+γ.
a+b+c=1,∴α+β+γ=0
a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2
=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2
=+α2+β2+γ2
a2+b2+c2

∴原不等式成立.
證法二:

<6
∴原不等式成立.
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2
-
3
6
-
7
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