Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．動圓（圓心為M）被L₁L₂截得的弦長分別為8，16．
（Ⅰ）求圓心M的軌跡方程M；
（Ⅱ）設直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A，B兩點．如果拋物y²=-2x上存在點N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．…（2分）
∴，
∴x²-y²=80，即圓心M的軌跡方程M：x²-y²=80． …（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，
得（1-k²）x²-20kx-180=0． ①
∴AB的中點為，…（6分）
∴AB的中垂線為，即，…（7分）
由，得 ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是：①有相異二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相異二解的條件為，
∴?且k≠±1．③…（10分）
②有解的條件是，∴，④…（11分）
根據導數知識易得時，k³-k+40＞0，
因此，由③④可得N點存在的條件是：-1或1＜k＜． …（12分）
分析：（Ⅰ）設M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．所以，由此能求出圓心M的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²-20kx-180=0．AB的中點為，AB的中垂線為，由，得．由此能求出k的取值范圍．
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．