已知直L1:2x-y=0,L2:x-2y=0.動圓(圓心為M)被L1L2截得的弦長分別為8,16.
(Ⅰ)求圓心M的軌跡方程M;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A,B兩點.如果拋物y2=-2x上存在點N使得|NA|=|NB|成立,求k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),M到L1,L2的距離分別為d1,d2,則d12+42=d22+82.所以|
2x-y
5
|2-|
x-2y
5
|2=48
,由此能求出圓心M的軌跡方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
y=kx+10
x2-y2=80
,得(1-k2)x2-20kx-180=0.AB的中點為(
10k
1-k2
,
10
1-k2
)
,AB的中垂線為y-
10
1-k2
=-
1
k
(x-
10k
1-k2
)
,由
y2=-2x
y=-
1
k
x+
20
1-k2
,得y2-2ky+
40k
1-k2
=0
.由此能求出k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),M到L1,L2的距離分別為d1,d2,則d12+42=d22+82.…(2分)
|
2x-y
5
|2-|
x-2y
5
|2=48
,
∴x2-y2=80,即圓心M的軌跡方程M:x2-y2=80.  …(4分)
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
y=kx+10
x2-y2=80

得(1-k2)x2-20kx-180=0.        ①
∴AB的中點為(
10k
1-k2
,
10
1-k2
)
,…(6分)
∴AB的中垂線為y-
10
1-k2
=-
1
k
(x-
10k
1-k2
)
,即y=-
1
k
x+
20
1-k2
,…(7分)
y2=-2x
y=-
1
k
x+
20
1-k2
,得y2-2ky+
40k
1-k2
=0
      ②…(8分)
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是:①有相異二解,并且②有解. …(9分)
∵①有相異二解的條件為
1-k2≠0
(-20k)2-4(1-k2)×(-180)>0
,
k2≠ 1
k2
9
4
?-
3
2
 <k<
3
2
且k≠±1.③…(10分)
②有解的條件是V=4k2-4×
40k
1-k2
≥0
,∴
k
k2-1
(k3-k+40)≥0
,④…(11分)
根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識易得-
3
2
<k<
3
2
時,k3-k+40>0,
因此,由③④可得N點存在的條件是:-1或1<k<
3
2
.   …(12分)
點評:本題主要考查雙曲線標準方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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