Question

【題目】給定橢圓C： （a＞b＞0）．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為 的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F（ ，0），其短軸上的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線l1 ， l2 ， 使得l1 ， l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1 ， l2是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，c= ， =a= ，

則b2=a2﹣c2=1，

則橢圓C的方程為 +y2=1．

其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4

（2）解：①設(shè)P（± ，±1），則過P的直線l1：x=± ，

則l2的斜率k≠0，即它們不垂直；

②設(shè)P（m，n）（m≠± ），m2+n2=4，過P的直線為y﹣n=k（x﹣m），

聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到

（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，

由于直線與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，則△=0，

即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）3[（n﹣km）2﹣1]=0，

化簡得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，

k1k2= = =﹣1．

即l1，l2垂直．

綜上，當(dāng)P在直線x= 上時，l1，l2不垂直；

當(dāng)P不在直線x= 上時，l1，l2垂直

【解析】（1）由題意可得，c= ，a= ，則b2=a2﹣c2=1，從而得到橢圓方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）討論當(dāng)P在直線x= 上時，顯然不垂直；當(dāng)P不在直線x= 上時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的方程，運(yùn)用判別式為0，化簡整理，得到關(guān)于k的方程，求出兩根之積，判斷是否為﹣1，即可判斷
l1 ， l2垂直．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．