Question

已知P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)f(x)=

2x

2x+ 2

圖象上的兩點(diǎn)，且

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，點(diǎn)P、A、B共線，且

CP

=x1

CA

+x2

CB

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)
（2）若S2011=

2010

i=1

f(

i

2011

)，求S₂₀₁₁
（3）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，記T_n為數(shù)列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}前n項(xiàng)的和，若Tn＜a(Sn+1+

2

)時(shí)，對(duì)一切n∈N^*都成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P．A．B共線且

CP

=x1

CA

+x2

CB

，可求x₁+x₂=1，結(jié)合已知函數(shù)解析式可尋求f（x）與f（1-x）的函數(shù)值的關(guān)系，從而可求P
（2）結(jié)合（1）中f（x）與f（1-x）的和的關(guān)系，利用倒序相加求和即可求解
（3）利用倒序相加可求S_n，代入之后利用裂項(xiàng)相加可求T_n，進(jìn)而可求a的范圍

解答：解（1）∵P．A．B共線且

CP

=x1

CA

+x2

CB

，
∴x₁+x₂=1
又∵f(x)+f(1-x)=

2x

2x+ 2

+

21-x

21-x+ 2

=

2x

2x+ 2

+

2

2x+ 2

=1
∴P(

1

2

，

1

2

)
（2）S2011=

2010

i=1

f(

i

2011

)=f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+…+f(

2009

2011

)+f(

2010

2011

)
∴S2011=f(

2010

2011

)+f(

2009

2011

)+…f(

2

2011

)+f(

1

2011

)
∴2S₂₀₁₁=2010⇒S₂₀₁₁=1005
（3）Sn=

n

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…f(

n-1

n

)+f(1)
∴Sn=f(1)+f(

n-1

n

)+…f(

2

n

)+f(

1

n

)
∴Sn=

n+3

2

-

2

令bn=

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

4

(n+3)(n+4)

∴Tn=

2n

n+2

，

2n

n+2

＜a

n+2

2

⇒a＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

∴a＞

1

8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量基本定理的應(yīng)用及倒序相加、裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用