直線y=kx+b與曲線交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求曲線的離心率;
(2)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(3)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.
(1)離心率.(2)當(dāng)時(shí), S取到最大值1.
(3)或或或.
解析試題分析:(1)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程,明確曲線為橢圓,,進(jìn)一步得到橢圓的離心率.
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,由,解得,
將面積用b表示.
(3)由,應(yīng)用弦長公式,得到|AB|=,
根據(jù)O到AB的距離得到代入上式并整理,解得k,b.
試題解析:(1)曲線的方程可化為:,
∴此曲線為橢圓,,
∴此橢圓的離心率. 4分
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,
由,解得, 6分
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), S取到最大值1. 8分
(3)由得,
①
|AB|= ②
又因?yàn)镺到AB的距離,所以 ③
③代入②并整理,得
解得,,代入①式檢驗(yàn),△>0 ,
故直線AB的方程是
或或或. 14分
考點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,、分別為橢圓:的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),、為兩個(gè)頂點(diǎn),已知頂點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值;
(3)作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn),求弦長的最大值,并求取最大值時(shí)的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn).
(1)若是橢圓在第一象限上一點(diǎn),且,求點(diǎn)坐標(biāo);(5分)
(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),且為銳角(其中為原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.(7分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓C∶+=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4),離心率為.
(1)求C的方程;
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:=1(a>b≥1)的離心率e=,且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q (0,3)的距離最大值為4,過點(diǎn)M(3,0)的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的方程。
(2)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|AB|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓,其中,過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)和,且滿足,,其中為正常數(shù). 當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),對應(yīng)的.
(1)求橢圓的離心率;
(2)求與的值;
(3)當(dāng)變化時(shí),是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.(12分)
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn),求
(為原點(diǎn))面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不是橢圓的頂點(diǎn)).點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn).
(i)設(shè)直線的斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;
(ii)求面積的最大值.
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