已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)．
（1）當
a
⊥
b
時，求|
a
+
b
|的值；
（2）求函數(shù)f(x)=
a
•(2
b
-
a
)+cos2x的最大值，并求出f（x）取得最大值時x的集合．
分析：（1）根據(jù)平面向量垂直時數(shù)量積為0，可得
a
•
b
=0，然后把所求的式子利用
a2
=|a|變形后，被開方數(shù)再利用完全平方公式化簡，利用
a
2=|
a
|2以及
a
•
b
=0化簡后，利用同角三角函數(shù)間的基本關系變形，開方可得值；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式先利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算后，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，前兩項提取
2
后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)這個角等于2kπ+
π
2
時，正弦函數(shù)的最大值為1，求出函數(shù)f（x）的最大值，進而求出此時滿足題意的x的集合．
解答：解：（1）當
a
⊥
b
時，
a
•
b
=0，
則|
a
+
b
|=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
sin2x+1+cos2x+
1
4
=
3
2
；
（2）f（x）=2
a
•
b
-
a
2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x
=sin2x+cos2x-2=
2
sin(2x+
π
4
)-2，
∴當sin(2x+
π
4
)=1?2x+
π
4
=
π
2
+2kπ?x=
π
8
+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值
2
-2，
此時x的集合是{x|x=
π
8
+kπ，k∈Z}．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變形，以及三角函數(shù)的最值，要求學生掌握平面向量的數(shù)量積運算法則，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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