Question

某地近年來(lái)持續(xù)干旱，為倡導(dǎo)節(jié)約用水，該地采用了階梯水價(jià)計(jì)費(fèi)方法，具體為：每戶每月用水量不超過(guò)a噸的每噸2元；超過(guò)a噸而不超過(guò)（a+2）噸的，超出a噸的部分每噸4元；超過(guò)（a+2）噸的，超出（a+2）噸的部分每噸6元．
（1）寫(xiě)出每戶每月用水量x（噸）與支付費(fèi)y（元）的函數(shù)關(guān)系；
（2）該地一家庭記錄了去年12個(gè)月的月用水量（x∈N^*）如下表：

月用水量x（噸）	3	4	5	6	7
頻數(shù)	1	3	3	3	2

將12個(gè)月記錄的各用水量的頻率視為概率，若取a=4，用Y表示去年的月用水費(fèi)用，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望（精確到元）；
（3）今年干旱形勢(shì)仍然嚴(yán)峻，該地政府決定適當(dāng)下調(diào)a的值（3＜a＜4），小明家響應(yīng)政府號(hào)召節(jié)約用水，已知他家前3個(gè)月的月平均水費(fèi)為11元，并且前3個(gè)月用水量x的分布列為：

月用水量x（噸）	4	6	3
P	1 3	1 3	1 3

請(qǐng)你求出今年調(diào)整的a值．

Answer 1

考點(diǎn)：概率的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)每戶每月用水量不超過(guò)a噸的每噸2元；超過(guò)a噸而不超過(guò)（a+2）噸的，超出a噸的部分每噸4元；超過(guò)（a+2）噸的，超出（a+2）噸的部分每噸6元，可得分段函數(shù)；
（2）Y的可能取值為6，8，12，16，22，求出相應(yīng)的概率，可得Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）利用他家前3個(gè)月的月平均水費(fèi)為11元，結(jié)合分布列，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得，
當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y=2x；
當(dāng)a＜x≤a+2時(shí)，y=2a+4（x-a）=4x-2a；
當(dāng)x＞a+2時(shí)，y=2a+8+6（x-a-2）=6x-4a-4，
所以y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=

2x，0≤x≤a 4x-2a，a＜x≤a+2 6x-4a-4，x＞a+2

；
（2）a=4時(shí)，y=

2x，0≤x≤4 4x-8，4＜x≤6 6x-20，x＞6

Y的可能取值為6，8，12，16，22，Y的分布列為：

Y	6	8	12	16	22
P	1 12	1 4	1 4	1 4	1 6

所以E（Y）=6×

1

12

+8×

1

4

+12×

1

4

+16×

1

4

+22×

1

6

=

79

6

≈13．
（3）依題意，

1

3

[（4×4-2a）+（6×6-4a-4）+6]=11，
得54-6a=33．
解得a=3.5．
故今年調(diào)整的a值為3.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查了分段函數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．