Question

已知：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂+2a₃=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）將同時滿足下列兩個條件的數(shù)列{c_n}稱為“約束數(shù)列”：①c_n＞c_n+1（n∈N^*）；②存在常數(shù)M，使得數(shù)列{c_n}的前n項和S_n＜M對任意的n∈N^*恒成立，試判斷數(shù)列{a_n}是否是“約束數(shù)列”，并說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{ac_n}的前n項和T_n，根據(jù)“約束數(shù)列”的定義進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}公比為q，則由a₂+2a₃=1得qa₁+2a₁q²=1，
2q²+q-1=0，解得q=

1

2

或-1．
∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，
∴q=

1

2

，
即數(shù)列的通項公式a_n=（

1

2

）^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an+1

an

=

1

2

且a_n＞0，
則a_n=2a_n+1＞a_n+1，
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和T_n，
則T_n=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]=2-（

1

2

）^n-1＜2，
即數(shù)列{a_n}的前n項和T_n＜2，
∴數(shù)列{a_n}是“約束數(shù)列”．

點評：本題主要考查等比數(shù)列，數(shù)列通項公式，數(shù)列求和的知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．