【題目】設函數(shù)f(x)為定義在R奇函數(shù),當x>0時,f(x)=﹣2x2+4x+1,
(1)求:當x<0時,f(x)的表達式;
(2)用分段函數(shù)寫出f(x)的表達式;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)﹣a恰有三個零點,求a的取值范圍(只要求寫出結果).
【答案】
(1)解:設x<0,則﹣x>0,
∵當x>0時,f(x)=﹣2x2+4x+1,
∴f(﹣x)=﹣2x2﹣4x+1,
∵f(x)為定義在R上是奇函數(shù),
∴f(x)=﹣f(﹣x)=2x2+4x﹣1
(2)解:∵f(x)為定義在R上是奇函數(shù),
∴f(0)=﹣f(﹣0),則f(0)=0,
由(1)可得,f(x)=
(3)解:由函數(shù)h(x)=f(x)﹣a=0得,f(x)=a,
由條件得,當x>0時,
f(x)=﹣2x2+4x+1=﹣2(x﹣1)2+3,
由(2)畫出函數(shù)f(x)和y=a的圖象,如圖所示:
∵函數(shù)h(x)=f(x)﹣a恰有三個零點,
∴由圖得,﹣3<a<﹣1或a=0或1<a<3,
∴a的取值范圍是
{a|﹣3<a<﹣1或a=0或1<a<3}
【解析】(1)設x<0則﹣x>0,根據(jù)題意和奇函數(shù)的性質求出當x<0時,f(x)的表達式;(2)由奇函數(shù)的性質求出f(0)=0,由(1)和分段函數(shù)表示出f(x);(3)利用配方法化簡x>0時的f(x),由(2)和二次函數(shù)的圖象畫出f(x)的圖象,根據(jù)函數(shù)零點的幾何意義和圖象,求出滿足題意的a的取值范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2a4x﹣2x﹣1.
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若f(x)有零點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,sinx),函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)的對稱軸方程;
(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合;
(3)若對任意實數(shù) ,不等式f(x)﹣m<2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下四個命題正確的個數(shù)( )
①用反證法證明數(shù)學命題時首先應該做出與命題結論相矛盾的假設.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個奇數(shù)”時正確的反設為“自然數(shù)a,b,c中至少有兩個奇數(shù)或都是偶數(shù)”;
②在復平面內(nèi),表示兩個共軛復數(shù)的點關于實軸對稱;
③在回歸直線方程 =﹣0.3x+10中,當變量x每增加一個單位時,變量 平均增加0.3個單位;
④拋物線y=x2過點( ,2)的切線方程為2x﹣y﹣1=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅲ)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)同時滿足①對于定義域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②對于定義域上的任意x1、x2 , 當x1≠x2時,恒有 <0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.給出下列三個函數(shù)中:(1)f(x)= ;(2)f(x)=x+1;(3)f(x)= ,能被稱為“理想函數(shù)”的有(填相應的序號).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知(x+ )n的展開式中的第二項和第三項的系數(shù)相等.
(1)求n的值;
(2)求展開式中所有二項式系數(shù)的和;
(3)求展開式中所有的有理項.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機”弘揚傳統(tǒng)文化,某市對全市10萬名市民進行了漢字聽寫測試,調查數(shù)據(jù)顯示市民的成績服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民進行聽寫測試,發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間,將測試結果按如下方式分成六組:第一組,第二組,…,第六組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪,求被采訪人恰好在第1組或第4組的概率;
(2)已知第1組市民中男性有3名,組織方要從第1組中隨機抽取2名市民組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性群眾的概率.
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