【題目】在平面直角坐標系中,已知直線∶和圓∶,是直線上一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為.
(1)若,求點坐標;
(2)若圓上存在點,使得,求點的橫坐標的取值范圍;
(3)設(shè)線段的中點為,與軸的交點為,求線段長的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)先求出到圓心的距離為,設(shè),解方程即得解;(2)設(shè),若圓上存在點,使得,分析得到,即,解不等式得解;(3)設(shè),可得所在直線方程:,點的軌跡為:,根據(jù)求出最大值得解.
(1)若,則四邊形為正方形,
則到圓心的距離為,
∵在直線上,設(shè)
故,解得,故;
(2)設(shè),若圓上存在點,使得,
過作圓的切線,,∴,∴,
在直角三角形中,∵,
∴,即,∴,
∴,解得,
∴點橫坐標的取值范圍為:;
(3)設(shè),則以為直徑的圓的方程為
化簡得,與聯(lián)立,
可得所在直線方程:,
聯(lián)立,得,
∴的坐標為,
可得點的軌跡為:,
圓心,半徑.其中原點為極限點(也可以去掉).
由題意可知,∴.
∴.
∴線段的最大值為.
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【題目】, , .
(1)證明:存在唯一實數(shù),使得直線和曲線相切;
(2)若不等式有且只有兩個整數(shù)解,求的范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,平面平面, ,點在棱上.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)若平面,求證: ;
(Ⅲ)是否存在點,使得四面體的體積等于四面體的?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓C1:(x+1)2+(y-3)2=9和圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程;
(2)求直線過點C(3,-5),且與公共弦垂直的直線方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2ex﹣b,其中b∈R.
(Ⅰ)證明:對于任意x1,x2∈(﹣∞,0],都有f(x1)﹣f(x2);
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)(結(jié)論不需要證明).
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【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì):對任意的 ,,使得成立.
(Ⅰ)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;
(Ⅱ)求證;
(Ⅲ)若,求數(shù)集中所有元素的和的最小值.
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【題目】由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對于生活和生命的感悟,給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問題,同時也在討論青春中國的社會問題,受到青年觀眾的喜愛,為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度,電視臺隨機調(diào)查了兩個地區(qū)的名觀眾,得到如下的列聯(lián)表:
已知在被調(diào)查的名觀眾中隨機抽取名,該觀眾是地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為,且.
(1)現(xiàn)從名觀眾中用分層抽樣的方法抽取名進行問卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“滿意”的地區(qū)的人數(shù)各是多少.
(2)完成上述表格,并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.
(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從地區(qū)隨機抽取人,設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為,求的分布列和期望.
附:參考公式:
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