Question

已知

a

=(cosx，cosx-

3

sinx)，

b

=(sinx+

3

cosx，sinx)，且f（x）=

a

•

b

．
①將函數(shù)f（x）的表達式化為Asin（ωx+φ）+h的形式；
②若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：①先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則求出函數(shù)f（x）的解析式，然后利用二倍角公式進行化簡變形，最后用輔助角公式變形即可將函數(shù)f（x）的表達式化為Asin（ωx+φ）+h的形式；
②根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后與x∈[-

π

2

，

π

2

]求交集即可求出所求．

解答：解：①f(x)=

a

•

b

=cosx(sinx+

3

cosx)+(cosx-

3

sinx)sinx…（2分）?f(x)=2sinxcosx+

3

(cos2x-sin2x)=sin2x+

3

cos2x…（4分）
?f(x)=2sin(2x+

π

3

)…（6分）
②當2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

?kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．      …（9分）
又∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

12

，

π

12

]．…（12分）

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積以及二倍角公式和輔助角公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．