已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．
分析：（1）先根據(jù)向量的坐標(biāo)求得函數(shù)f（x）得解析式，然后利用兩角和公式對解析式進行化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得三角函數(shù)遞減時2x+
π
4
的范圍，進而確定x的范圍，求得函數(shù)的減區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+
π
4
的范圍，進而確定sin（2x+
π
4
）的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．
解答：解：由題意，得f(x)=
a
•
b
=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=
2
sin(2x+
π
4
)
（1）T=
2π
2
=π，
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z
解得
π
8
+kπ≤x≤
5
8
π+kπ，k∈Z
∴f（x）的減區(qū)間為：[
π
8
+kπ，
5
8
π+kπ]，k∈Z
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，2x+
π
4
∈[
π
4
，
5
4
π]
∴-
2
2
≤sin(2x+
π
4
)≤1，
故f(x)max=f(
π
8
)=
2
，f(x)min=f(
π
2
)=-1
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，平面向量積的運算，三角函數(shù)的周期性以及兩角和公式的化簡求值．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識點綜合的運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，記f(x)=
a
•
b
，要得到函數(shù)y=sin2x-cos2x的圖象，只須將y=f（x）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
4
個單位
B、向右平移
π
2
個單位
C、向左平移
π
4
個單位
D、向左平移
π
2
個單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(cosx，-sin2x)，
b
=(6sinx+
3
cosx，
3
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[0，
5π
12
]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值時相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx+
3
sinx，
3
cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•深圳二模）已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時x的值．

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