Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，且PA=PC=2．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）若平面PAC⊥平面ABC，D為PC的中點，求異面直線PA與BD所成角的大小．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AC的中點E，連接PE、BE，由已知得PE⊥AC，BE⊥AC，從而AC⊥平面PEB，由此能證明AC⊥PB．
（2）連接DE，DE是△PAC的中位線，從而∠BDE為PA與BD所成的角，由此能求出PA與BD所成的角為60°．

解答： （1）證明：取AC的中點E，連接PE、BE，
∵PA=PC，∴PE⊥AC，
∵ABC是等邊三角形，∴BE⊥AC，
∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PEB
∵PB?平面PEB，∴AC⊥PB．
（2）解：連接DE，
∵D是PC的中點，E是AC的中點
∴DE是△PAC的中位線
∴DE=

1

2

PA=1，DE∥PA，
∴∠BDE為PA與BD所成的角，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BE?平面ABC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAC，
∵DE?平面PAC，∴BE⊥DE，
∵AE=1，AB=2，∴BE=

3

，
∴tan∠BDC=

BE

DE

=

3

，∴∠BDC=60°，
∴PA與BD所成的角為60°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，是中位檔，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．